Macam-macam sistem bilangan dan Gerbang Logika

1. Sistem bilangan

Bilangan Desimal

• Bilangan Desimal terdiri atas 10 angka atau lambang,yaitu
  D = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10 karena mempunyai 10 digit
• Ciri suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 10 di akhir suatu bilangan
  Contoh: 357des = 35710 = 357

Bilangan Bulat Desimal

• Representasi bilangan bulat desimal m digit : (dm-1, … di, … , d1, d0) dengan di € D
• Sehingga suatu bilangan desimal m digit akan mempunyai nilai:
• Contoh: Bilangan 357
  Digit 3 = 3x100 = 300 (Most Significant Digit, MSD) Digit 5 = 5x10 = 50
  Digit 7 = 7x1 = 7 (Least Significant Digit, LSD)
  Jumlah = 357

Bilangan Pecahan Desimal

• Representasi Bilangan Pecahan Desimal: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... , dn) dengan di € D
• Sehingga suatu bilangan desimal pecahan akan mempunyai nilai:
• Contoh: Bilangan 245,21
• Koma desimal memisahkan pangkat positif dengan pangkat negatifnya. Bilangan 245,21 berarti
  (2 X 10+2) + (4 X 10+1) + (5 X 100) + (2 X 10-1) + (1 X 10-2)

Bilangan Biner

• Digit bilangan biner disebut binary digit atau bit. Empat bit dinamakan nibble. Delapan bit dinamakan byte. Sejumlah bit yang terdiri dari karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus dinamakan word.
• Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem bilangan ini hanya dikenal dua lambang, yaitu:
  B = 0, 1.
• Ciri suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau 2 di akhir suatu bilangan
  Contoh: 1010011bin = 10100112.

Bilangan Bulat Biner

• Representasi bilangan biner bulat m bit adalah sebagai berikut,
  (bm-1, … bi, … , b1, b0) dengan bi € B
• Sehingga suatu bilangan biner m bit akan mempunyai nilai:
• Bit paling kiri dari suatu bilangan biner disebut bit paling berarti (Most Significant Bit, MSB), sedangkan bit paling kanan disebut bit paling tidak berarti (Least Significant Bit, LSB)

Contoh : 101 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4 + 0 + 1 = 5

Bilangan Pecahan Biner

• Representasi bilangan biner pecahan: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... , dn) dengan di € B
• Sehingga suatu bilangan biner pecahan akan mempunyai nilai:
  Contoh :
  101,01 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,25

Konversi Bilangan Biner Ke Desimal

• Contoh Bilangan Bulat:
  1010011 =1 X 26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20
  = 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
  = 83des

Contoh Bilangan Pecahan:
111,01 = 1 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2
= 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25
= 7,25des

Konversi Bilangan Bulat Desimal Ke Biner

• Konversi bilangan bulat desimal ke biner dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan bit yang didapat
  Contoh: Konversi 625des ke biner
  625 / 2 = 312 sisa 1 (LSB)
  312 / 2 = 156 0
  156 / 2 = 78 0
  78 / 2 = 39 0
  39 / 2 = 19 1
  19 / 2 = 9 1
  9 / 2 = 4 1
  4 / 2 = 2 0
  2 / 2 = 1 0
  1 / 2 = 0 1 (MSB)
  Jadi 625des = 1001110001bin

Konversi Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner

• Caranya : Kalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 2. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan bit yang didapat
  Contoh: Konversi 0,75 des ke Biner
  0,75 X 2 = 1,50 sisa 1 (MSB)
  0,50 X 2 = 1,00 1
  0 X 2 = 0,00 0 (LSB)
  Jadi 0,75des = 0,110bin

Bilangan Bulat Oktal

• Representasi suatu bilangan oktal bulat m digit adalah sebagai berikut,
   OÎ(om-1, … oi, … , o1, o0) dengan oi 
  Sehingga suatu bilangan oktal bulat m digit akan mempunyai nilai:

Bilangan Pecahan Oktal

• Representasi bilangan pecahan oktal :
   OÎ(om-1, … oi, … , o1, o0, o-1, ... , on) dengan oi 
  Sehingga suatu bilangan oktal pecahan akan mempunyai nilai:

Konversi Bilangan Oktal ke Desimal

• Contoh bilangan bulat:
  1161okt = 625des
  1161okt Berarti :
  = 1 X 83 + 1 X 82 + 6 X 81 + 1 X 80
  = 512+64+48+1
  = 625des

Contoh bilangan pecahan:
13,6okt = 11,75des
13,6okt Berarti :
= 1 X 81 + 3 X 80 + 6 X 8-1
= 8 + 3 + 0,75
= 11,75des

Konversi Bilangan Desimal ke Oktal

Contoh Bilangan Bulat :
625des = 1161okt
625 / 8 = 78 sisa 1 (LSB)
78 / 8 = 9 6
9 / 8 = 1 1
1 / 8 = 0 1 (MSB)

Contoh Bilangan Pecahan :
0,1des = 0,063….okt
0,1 X 8 = 0,8 sisa 0 (MSB)
0,8 X 8 = 6,4 6
0,4 X 8 = 3,2 3 (LSB)

Konversi Bilangan Oktal ke Biner

• Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner
  Contoh: 1161okt = 001001110001bin
  1 1 6 1
  001 001 110 001
  Contoh: 0,063okt = 0,000110011bin
  0 6 3
  000 110 011

Konversi Bilangan Biner ke Oktal

• Contoh Bilangan Bulat:
  1001110001bin = 1161okt
  001 001 110 001
  1 1 6 1

Contoh Bilangan Pecahan:
0,000110011bin = 0,063okt
000 110 011
0 6 3

Bilangan Heksadesimal

• Merupakan sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik.
• Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu:
  H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
• Ciri bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 di akhir suatu bilangan. Contoh: 271heks = 27116

Bilangan Bulat Heksadesimal

• Representasi suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai berikut,
  (hm-1, … hi, … , h1, h0) dengan hi € H
• Sehingga suatu bilangan heksadesimal m digit akan mempunyai nilai

Bilangan Pecahan Heksadesmial

• Untuk bilangan heksadesimal pecahan, representasi nilainya menjadi sebagai berikut,
  (hm-1, … hi, … , h1, h0, h-1, ... , hn) dengan hi € H
• Sehingga suatu bilangan heksadesimal pecahan akan mempunyai nilai:

Konversi Bilangan Heksadesimal ke Desimal

• 271heks = 625des
  271heks
  = 2 X 162 + 7 X 161 + 1 X 160
  = 512 + 112 + 1
  = 625des
  0,Cheks = 0,75des
  0,C heks
  = 0 X 160 + 12 X 16-1
  = 0 + 0,75
  = 0,75des

Konversi Bilangan Bulat Desimal ke Heksadesimal

• Konversi bilangan bulat desimal ke heksadesimal dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 16. Sisa setiap pembagian merupakan digit heksadesimal yang didapat.
• Contoh: Konversi 625des ke Heksadesimal
  625 / 16 = 39 sisa 1 (LSB)
  39 / 16 = 2 7
  2 / 16 = 0 2 (MSB)
  Jadi 625des = 271heks

Konversi Bilangan Pecahan Desimal ke Heksadesimal
Konversi bilangan pecahan desimal ke heksadesimal dilakukan dengan cara mengalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 16. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 16. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan digit yang didapat.

Contoh: 0,75des = 0,Cheks
0,75 X 16 = C

Contoh: 0,1des = 0,19 ...... heks
0,10 X 16 = 1,6 sisa 1 (MSB)
0,60 X 16 = 9,6 9
dst…. (LSB)
Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner
Konversi bilangan heksadesimal ke biner lebih mudah dibandingkan konversi bilangan heksadesimal ke desimal. Satu digit heksadesimal dikonversi ke 4 bit biner.

Contoh Bilangan Bulat:
271heks = 1001110001bin
2 7 1
0010 0111 0001

Contoh Bilangan Pecahan:
0,19heks = 0,00011001bin
0 1 9
0000 0001 1001
Konversi Bilangan Biner ke Heksadesimal
Untuk bilangan bulat, kelompokkan setiap empat bit biner dari paling kanan, kemudian konversikan setiap kelompok ke satu digit heksadesimal. Untuk bilangan pecahan, kelompokkan setiap empat bit biner dari paling kiri, kemudian konversikan setiap kelompok ke satu digit heksadesimal.

Contoh Bilangan Bulat:
1001110001bin = 271heks
10 0111 0001
2 7 1
Contoh Bilangan Pecahan:
0,00011001bin = 0,19heks
0000 0001 1001
0 1 9
BCD (Binary Coded Desimal)
Sistem bilangan BCD hampir sama dengan sistem bilangan biner. Pada sistem bilangan ini, setiap satu digit desimal diwakili oleh empat bit biner. Sistem bilangan BCD biasanya digunakan untuk keperluan penampil tujuh segmen (seven-segment), seperti pada jam digital atau voltmeter.
Contoh:
625des = 0110 0010 0101BCD
6 2 5
0110 0010 0101
Contoh Bilangan BCD
Contoh:
011101011000 BCD = 758 10
0111 0101 1000
7 5 8
Contoh kasus :
Umumnya, termometer digital menggunakan BCD untuk mengemudikan display 3 digit. Berapa banyak BCD yang dibutuhkan untuk mengemudikan display termometer 3 digit tersebut? Tampilkan bit untuk temperature 147 derajat!
Dibutuhkan 12 bit, dengan 4 bit untuk masing-masing digit.
Bit yang digunakan untuk menampilkan 147 derajat adalah 0001 0100 0111.
Tabel Konversi Antar Sistem Bilangan

Desimal	Biner	Okta	Heksadesimal	BCD
0	0000	0	0	0000
1	0001	1	1	0001
2	0010	2	2	0010
3	0011	3	3	0011
4	0100	4	4	0100
5	0101	5	5	0101
6	0110	6	6	0110
7	0111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	A	00010000
11	1011	13	B	00010001
12	1100	14	C	00010010
13	1101	15	D	00010011
14	1110	16	E	00010100
15	1111	17	F	00010101

0 0000 0 0 0000
1 0001 1 1 0001
2 0010 2 2 0010
3 0011 3 3 0011
 4 0100 4 4 0100
5 0101 5 5 0101
6 0110 6 6 0110
7 0111 7 7 0111
 8 1000 10 8 1000
9 1001 11 9 1001
10 1010 12 A 0001 0000
11 1011 13 B 0001 0001
12 1100 14 C 0001 0010
13 1101 15 D 0001 0011
14 1110 16 E 0001 0100
15 1111 17 F 0001 0101

2.  Gerbang logika

Gerbang logika atau sering juga disebut gerbang logika boolean merupakansebuah sistem pemrosesan dasar yang dapat memproses input-input yang berupa bilangan biner menjadi sebuah output yang berkondisi yang akhirnya digunakan untuk proses selanjutnya.
Gerbang logika dapat mengkondisikan input-input yang masuk kemudian menjadikannya sebuah output yang sesuai dengan apa yang ditentukan olehnya.
Jadi sebenarnya, gerbang logika inilah yang melakukan pemrosesan terhadap segala sesuatu yang masuk dan keluar ke dan dari komputer
Maka dari itu, sebenarnya sebuah perangkat komputer merupakan sebentuk kumpulan gerbang-gerbang digital yang bekerja memproses sesuatu input, menjadi output yang diinginkan.

macam-macam gerbang logika itu sendiri adalah :

1.Gerbang NOT
Gerbang NOT sering disebut juga dengan istilah inverter atau pembalik. Logika dari gerbang ini adalah membalik apa yang di-input ke dalamnya. Biasanya input-nya hanya terdiri dari satu kaki saja. Ketika input yang masuk adalah 1, maka hasil output-nya adalah 0. Jika input yang masuk adalah 0, maka hasil output-nya adalah 1. Banyak sekali penerapan gerbang NOT ini pada rangkaian digital, meskipun fungsinya sangat sederhana.

2.Gerbang AND
Gerbang AND memiliki karakteristik logika di mana jika input yang masuk adalah bernilai 0, maka hasil outputnya pasti akan bernilai 0. Jika kedua input diberi nilai 1, maka hasil output akan bernilai 1 pula. Logika gerbang AND bisa diumpamakan sebagai sebuah rangkaian dengan dua buah saklar yang disusun secara seri. Jika salah satunya memutuskan hubungan rangkaian, maka hasil yang dikeluarkan dari rangkaian tersebut adalah 0. Tidak peduli saklar manapun yang diputuskan maka hasil akhirnya adalah 0. Ketika kedua buah saklar terhubung dengan rangkaian bersamaan, maka hasil akhirnya barulah bernilai 1.

3.Gerbang OR
Gerbang OR digambarkan sebagai Gerbang Penjumlah. Gerbang OR berbeda dengan gerbang NOT yang hanya memiliki satu input, gerbang ini memiliki paling sedikit 2 jalur input. Artinya inputnya bisa lebih dari dua, misalnya empat atau delapan. Yang jelas adalah semua gerbang logika selalu mempunyai hanya satu output. Gerbang OR dapat dikatakan memiliki karakteristik “memihak 1”, di mana karakteristik logikanya akan selalu mengeluarkan hasil output bernilai 1 apabila ada satu saja input yang bernilai 1. Jadi gerbang logika ini tidak peduli berapa nilai input pada kedua sisinya, asalkan salah satunya atau kedua-duanya bernilai 1, maka outputnya pasti juga akan bernilai 1. Logika gerbang OR ini dapat diumpamakan sebagai sebuah rangkaian dengan dua buah saklar yang terpasang secara paralel.
Apabila salah satu saklar memutuskan hubungan (bernilai 0), maka output-nya tetaplah bernilai 1 karena input yang lain tidak akan terputus hubungannya dengan output. Apabila kedua input bernilai 0, maka output barulah benar-benar terputus atau bernilai 0. Jika keduanya bernilai 1, maka output juga akan bernilai 1.

trus ada lagi pengembangannya, yaitu :

4.Gerbang NAND
Gerbang logika NAND merupakan modifikasi yang dilakukan pada gerbang AND dengan menambahkan gerbang NOT didalam prosesnya. Maka itu, mengapa gerbang ini dinamai NAND atau NOTAND. Logika NAND benar-benar merupakan kebalikan dari apa yang dihasilkan oleh gerbang AND. Di dalam gerbang logika NAND, jika salah satu input atau keduanya bernilai 0 maka hasil output-nya adalah 1. Jika kedua input bernilai 1 maka hasil output-nya adalah 0.

5.Gerbang NOR
Gerbang NOR atau NOT-OR juga merupakan kebalikan dari gerbang logika OR. Semua input atau salah satu input bernilai 1, maka output-nya akan bernilai 0. Jika kedua input bernilai 0, maka output-nya akan bernilai 1

6.Gerbang XOR
Gerbang XOR merupakan singkatan dari kata Exclusive-OR. Sesuai dengan namanya, gerbang logika ini merupakan versi modifikasi dari gerbang OR. Jika pada gerbang OR Anda akan mendapatkan hasil output yang serba 1 jika salah satu input atau keduanya bernilai 1, tidak demikian dengan XOR. Gerbang logika ini hanya akan mengeluarkan hasil output bernilai 1 jika hanya salah satu input saja yang bernilai 1. Maksudnya jika kedua input bernilai 1, maka hasil output-nya tetaplah 0.
Jadi dengan demikian, logika XOR tidak akan membiarkan kedua input bernilai sama. Jika sama, maka hasil output-nya adalah 0.

7.Gerbang XNOR
Gerbang XNOR atau Exclusive NOR ini mungkin tidak terlalu sering terdengar, namun aplikasinya cukup lumayan penting juga. Gerbang logika XNOR memiliki kerja ebalikan dari XOR. Jika pada gerbang logika XNOR terdapat dua input yang sama, maka gerbang XNOR akan mengeluarkan hasil output bernilai 1. Namun jika salah satunya saja yang berbeda, maka nilai output pastilah bernilai 0.

3.  Perancangan analisa rank logika

1. Fungsi AND
Fungsi ini digunakan untuk menghasilkan nilai TRUE (benar) jika semua argumen yang diajukan bernilai benar dan menghasilkan nilai FALSE (salah) jika ada satu atau lebih argumen yang bernilai salah.

Bentuk fungsi:

=AND(logika1;logika2;……….)

Contoh:

1. =AND(2+10=12;20-10=10) diperoleh hasil TRUE
   Analisis: 2+10=12;20-10=10 semua argumennya adalah bernilai benar atau TRUE
2. =AND(10-2=9;20-10=10) diperoleh hasil FALSE
   Analisis: 10-2=9;20-10=10 salah satu argumennya adalah bernilai salah atau FALSE

2. Fungsi NOT
Fungsi NOT digunakan untuk menghasilkan jawaban kebalikan dari nilai logika yang diuji.

Bentuk fungsi:

=NOT (logika)

Contoh:

1. =NOT(10-2=9), diperoleh hasil TRUE
   Analisis :
   10-2=9 adalah jawaban salah, (kebalikan jawaban yang sebenarnya)
2. =NOT(2+10=12), diperoleh hasil FALSE
   Analisis: 2+10=12 adalah jawaban benar, sehingga hasilnya FALSE (kebalikan)

3. Fungsi OR
Fungsi OR digunakan untuk menghasilkan beberapa argumen (TRUE dan FALSE). Menghasilkan TRUE jika terdapat argumen yang benar, walaupun argumen lainnya ada yang salah. Dan, menghasilkan FALSE jika semua argumen bernilai salah (FALSE).

Bentuk fungsi:

=OR(logika1;logika2;logika3;…….)

Contoh:

1. =OR(2+10=12;2-1=2) diperoleh hasil TRUE
   Analisis: 2-10=12 bernilai benar dan 2-1=2 bernilai salah. Sehingga hasilnya (TRUE) karena salah satu argumennya bernilai benar
2. =OR(10-2=10;3+2=7;9-9=8) diperoleh hasil FALSE
   Analisis: Semua jawaban adalah salah sehingga hasilnya FALSE